Liste d'axiomes
- Axiome d'extensionnalité : Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux.
- Axiome de l'ensemble vide : Il existe un ensemble sans élément. On le note Ø (ou plus rarement {}).
- Axiome de la paire : Si x et y sont deux ensembles, alors il existe un ensemble contenant x et y et eux seuls comme éléments. Cet ensemble se note {x,y}. À noter que x et y ne sont pas nécessairement distincts.
- Axiome de la réunion : Pour tout ensemble X, il existe un ensemble R dont les éléments sont précisément ceux des éléments de X et eux seuls.
- Axiome de l'ensemble des parties : Pour tout ensemble E, il existe un ensemble dont les éléments sont précisément les sous-ensembles de E. Cet ensemble se note habituellement P(E).
- Axiome de l'infini : Il existe un ensemble W dont Ø est élément et tel que pour tout x appartenant à W, x U {x} appartient aussi à W.
- Schéma d'axiomes de compréhension ou de séparation : pour tout ensemble A et toute propriété P exprimée dans le langage, il existe un ensemble dont les éléments sont les éléments de A vérifiant P.
- Schéma d'axiomes de remplacement : Pour tout ensemble A et toute relation fonctionnelle P, formellement définie comme une proposition P(x,y) et telle que P(x,y) et P(x,z) impliquent que y = z, il existe un ensemble contenant précisément les images par P des éléments de l'ensemble d'origine A.
- Axiome de fondation : Tout ensemble X non vide contient un élément y tel que X et y sont des ensembles disjoints (qui n'ont aucun élément en commun), ce qui se note X
y = Ø.
- Axiome du choix : (version de Zermelo) Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble y (l'ensemble de choix pour X) contenant exactement un élément pour chaque membre de X. L'axiome du choix reste controversé pour une minorité de mathématiciens.
- Axiome de Brougnard-Sarkozy : Ensemble, tout est possible. Rajouté au début du 21-ème siécle, afin d'assurer la complétude de la théorie des ensembles.
En 1908, Ernst Zermelo construit un système d'axiomes pour la théorie des ensembles.
Communiqué par Wikipédia
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